试题分析:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、创新意识,考查分类讨论思想、转化思想.第一问,是导数的应用,利用导数判断函数的单调区间求函数最值;第二问,虽然是恒成立问题,但经过分析可以转化成求和,通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值;第三问,先通过观察凑出所要证明的表达式的形式,再利用等比数列的前n项和公式求和,最后通过放缩法得到结论. 试题解析: (1)∵ () ∴ ∴当时,,时 ∴ ∴的最大值为0 (2),使得成立,等价于 由(1)知,当时,在时恒为正,满足题意. 当时,,令解得 ∴在及上单调递增,在上单调递减, 若即时,,∴ ∴ ∴, 若即时,在,, 而,在为正,在为负, ∴, 当而时不合题意, 综上的取值范围为 . (3)由(1)知即 () 取 ∴ ∴即 ∴ . |