已知R,函数e.(1)若函数没有零点,求实数的取值范围;(2)若函数存在极大值,并记为,求的表达式;(3)当时,求证:.

已知R,函数e.(1)若函数没有零点,求实数的取值范围;(2)若函数存在极大值,并记为,求的表达式;(3)当时,求证:.

题型:不详难度:来源:
已知R,函数e
(1)若函数没有零点,求实数的取值范围;
(2)若函数存在极大值,并记为,求的表达式;
(3)当时,求证:
答案
(1);(2);(3)详见试题解析.
解析

试题分析:(1)令,∴.再利用求实数的取值范围;(2)先解,得可能的极值点,再分讨论得函数极大值的表达式;(3)当时,,要证 即证,亦即证,构造函数,利用导数证明不等式.
试题解析:(1)令,∴.      1分
∵函数没有零点,∴,∴.        3分
(2),令,得.   4分
时,则,此时随变化,的变化情况如下表:

时,取得极大值;            6分
时,上为增函数,∴无极大值.      7分
时,则,此时随变化,的变化情况如下表:

时,取得极大值,∴    9分
(3)证明:当时,             10分
要证 即证,即证      11分
,则.            12分
∴当时,为增函数;当为减函数,取最小值,,∴
,∴.               14分
举一反三
设函数,
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在区间上的最值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知定义在上的函数满足的导函数,且导函数的图象如右图所示.则不等式的解集是(   )
A.B.
C.D.

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已知函数.
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(2)当,且时,求在区间上的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数(是常数)在处的切线方程为,且.
(Ⅰ)求常数的值;
(Ⅱ)若函数()在区间内不是单调函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
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已知函数,
⑴求证函数上的单调递增;
⑵函数有三个零点,求的值;
⑶对恒成立,求a的取值范围。
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