试题分析:(Ⅰ)因为它的一个极值点是 ,所以有 ,可求出 的值,从而求出值域;(Ⅱ) 函数 的零点个数问题可转化为函数 的图象与函数 的图象的交点个数问题. 试题解析:(1) ,因为它的一个极值点是 ,所以有 ,可得 或 .当 时,分析可知: 在区间 单调递减,在区间 单调递增;由此可求得, 的值域为 ;当 时,分析可知: 在区间 单调递减,在区间 单调递增;由此可求得, 的值域为 . (Ⅱ)函数 的零点个数问题可转化为函数 的图象与函数 的图象的交点个数问题. .因为 ,所以 ,所以 .设 ,则 ,所以函数 在区间 上单调递增,所以 ,即有 .所以 .所以,函数 在区间 上单调递增. (ⅰ)当 时, , , , 而 ,结合(1)中函数 的单调性可得,此时函数 的图象与函数 的图象有2个交点,即函数 有2个零点. (ⅱ)当 时, ,由于 ,所以,此时函数 的图象与函数 的图象没有交点,即函数 没有零点. 综上所述,当 时,函数 有2个零点;当 时,函数 没有零点. |