设a为实数, 函数f（x）＝x3－x2－x＋a．（1）求f（x）的极值;（2）若曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 求a的取值范围．

题型：不详难度：来源：

设a为实数, 函数f（x）＝x³－x²－x＋a．
（1）求f（x）的极值;
（2）若曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 求a的取值范围．

答案

（1）f（x）的极大值是f（

）＝

,极小值是f（1）＝a－1．
（2）当

时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）因为a为实数, 函数f（x）＝x³－x²－x＋a．求解导数，结合导数的符号判定单调性得到
f（x）的极值;
（2）因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点, 由此可知x取足够大的正数时有f（x）>0, x取足够小的负数时有f（x）<0．
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点，结合导数的思想判定得到。
（1）

＝3x²－2x－1．若

＝0,则x＝－

或x＝1 ………… 2分
当x变化时，

、f（x）的变化情况如下表:

				1
	＋	0	－	0	＋
f（x）		极大值		极小值

…………4分
所以f（x）的极大值是f（

）＝

,极小值是f（1）＝a－1．………… 6分
（2）函数f（x）＝x³－x²－x＋a＝（x－1）²（x＋1）＋a－1．
由此可知x取足够大的正数时有f（x）>0, x取足够小的负数时有f（x）<0．
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点． …………8分
结合f（x）的单调性可知,
当f（x）的极大值

<0,即a