已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),
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已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=e
x
-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x)
1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x
1
, f(x
1
)),B(x
2
, f(x
2
))(x
1
<x
2
),记直线AB的斜率为k,证明:存在x
0
∈(x
1
,x
2
),使
恒成立.
答案
(1)
(2)见解析
解析
解:
令
.
当
时
单调递减;当
时
单调递增,故当
时,
取最小值
于是对一切
恒成立,当且仅当
. ①
令
则
当
时,
单调递增;当
时,
单调递减.
故当
时,
取最大值
.因此,当且仅当
时,①式成立.
综上所述,
的取值集合为
.
(Ⅱ)由题意知,
令
则
令
,则
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.故当
,
即
从而
,
又
所以
因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
使
即
成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出
取最小值
对一切x∈R,f(x)
1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
举一反三
已知
为正实数,
为自然数,抛物线
与
轴正半轴相交于点
,设
为该抛物线在点
处的切线在
轴上的截距。
(1)用
和
表示
;
(2)求对所有
都有
成立的
的最小值;
(3)当
时,比较
与
的大小,并说明理由。
题型:不详
难度:
|
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函数
的单调递增区间是
题型:不详
难度:
|
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在
上是减函数,则b的取值范围是_____________
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知三次函数
f
(
x
)=
x
3
-(4
m
-1)
x
2
+(15
m
2
-2
m
-7)
x
+2在
x
∈(-∞,+∞)是增函数,则
m
的取值范围是( )
A.
m
<2或
m
>4
B.-4<
m
<-2
C.
D.以上皆不正确
题型:不详
难度:
|
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f"(x)是f(x)的导函数,f"(x)的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( )
(A) (B) (C) (D)
题型:不详
难度:
|
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