（本题12分）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,  （I）求f(x)的极值.（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小

题型：不详难度：来源：

（本题12分）已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,  
（I）求f(x)的极值.
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

答案

解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)=0，解得x=－1或x=3，……………………2分
当变化时，，的变化情况如下表：

		-1
	－	0	+	0	－
		极小值		极大值

……………………4分
因此，当时，有极小值，且  
当时， 有极大值，且……………………6分
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，……………………7分
所以f(2)>f(－2)．
因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，……………………8分
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上
的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．……………………10分   
故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．……………………12分

解析

略