已知函数f(x)=ax-lnx(a为常数).(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)求函数f(x)在[1,+∞)上的最值;(Ⅲ)试证明对任意的n∈N﹡都

已知函数f(x)=ax-lnx(a为常数).(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)求函数f(x)在[1,+∞)上的最值;(Ⅲ)试证明对任意的n∈N﹡都

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已知函数f(x)=ax-lnx(a为常数).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)求函数f(x)在[1,+∞)上的最值;
(Ⅲ)试证明对任意的n∈N﹡都有<1.
答案
解(1)当时,函数=
,令
∵当时,  ∴函数上为减函数
∵当  ∴函数上为增函数
∴当时,函数有最小值,      --------3分
(2)∵
,则对任意的都有,∴函数上为减函数
∴函数上有最大值,没有最小值,; --------4分
,令
时,,当,函数上为减函数
  ∴函数上为增函数
∴当时,函数有最小值,   ------6分
时,恒有
∴函数上为增函数,
函数有最小值,.   ---------7分
综上得:当时,函数上有最大值,,没有最小值;
时,函数有最小值,,没有最大值;
时,函数有最小值,,没有最大值.---8分
(3)由(1)知函数=上有最小值1
即对任意的都有,即,      ---------10分
当且仅当时“=”成立
      ∴

∴对任意的都有.         ……12分
解析

举一反三
已知函数,其中.
(Ⅰ)若的极值点,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若上的最大值是,求的取值范围.
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已知函数),其中
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若函数仅在处有极值,求的取值范围;
(3)若对于任意的,不等式上恒成立,求的取值范围.
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已知函数,其中
(I)若函数有三个不同零点,求的取值范围;
(II)若函数在区间上不是单调函数,求的取值范围.
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已知定义在实数集上的函数 N,其导函数记为,且满足,其中为常数,.设函数
R且.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若函数无极值点,其导函数有零点,求m的值;
(Ⅲ)求函数的图象上任一点处的切线斜率k的最大值
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已知函数
(1)当m=2时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
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