解:(1)由题意可得,,. 于是. 若是为上的“阶收缩函数”,则在上恒成立,且 成立. 令,,则,所以在单调递减,∴,,即,于是在恒成立; 又成立. 故存在最小的正整数,使是为上的“2阶收缩函数”.…………6分 (2),令得或. 函数,的变化情况如下:
x
| (-∞,0)
| 0
| (0,2)
| 2
| (2,+∞)
| y’
| -
| 0
| +
| 0
| -
| y
| 减
| 极小
| 增
| 极大
| 减
| …………………… 8分 ⅰ)时,在上单调递增,因此,,. 因为是上的2阶收缩函数, 所以,①对恒成立; ②存在,使得成立. ①即:对恒成立,由,解得:或, 要使对恒成立,需且只需. ②即:存在,使得成立. 由得:或,所以,需且只需. 综合①②可得:. ………………12分 ⅱ)当时,显然有,由于在上单调递增,根据定义可得: ,,可得, 此时,不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得:. ……………14分 注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用只是因为简单而已. |