（本小题满分12分）设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
设函数
（1）当时，求的最大值；
（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值.

答案

（1）
（2）≥
（3）

解析

解：（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），
当时，，
（2′）
令=0，解得.（∵）
因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值………4分
（2），，则有≤，在上恒成立，
所以≥，（8′）当时，取得最大值，
所以≥………8分
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则.
令，.
因为，，
所以（舍去），
，
当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值.（12′）
则既
所以，因为，所以（*）
设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.
因为，所以方程（*）的解为，
即，解得.…12分