已知函数f(x)=ax3-3x2,a≠0.(Ⅰ)对a≠0讨论求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上单调递减,求实数a的取值范
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已知函数f(x)=ax3-3x2,a≠0. (Ⅰ)对a≠0讨论求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上单调递减,求实数a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)∵f(x)=ax3-3x2,a≠0, ∴f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), ∴当a>0时, 由f′(x)>0得:x>或x<0, 由f′(x)<0得:0<x<; 当a<0时,由f′(x)>0得:<x<0, 由f′(x)<0得:x<或x>0; ∴当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(,+∞);函数f(x)的单调递减区间为(0,); 当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(,0),函数f(x)的单调递减区间为(-∞,),(0,+∞); (Ⅱ)∵g(x)=exf(x)=ex(ax3-3x2), ∴g′(x)=ex(ax3-3x2)+ex(3ax2-6x)=xex[ax2+(3a-3)x-6], 令h(x)=ax2+(3a-3)x-6, ∵g(x)=ex(ax3-3x2)在[0,2]上单调递减, ∴当a>0时,解得0<a≤; 当a<0时,由解得a<0; ∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,]. |
举一反三
已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1. (1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=lnx+x2-3x-c (1)若函数f(x)在(,+m)上是单调函数,求实数m的取值范围; (2)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围. |
若函数f(x)在R上是一个可导函数,则f′(x)>0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.在区间(-3,1)内f(x)是增函数 | B.在x=2时f(x)取得极大值 | C.在(4,5)内f(x)是增函数 | D.在x=2时f(x)取到极小值 |
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