已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|

已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|

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已知函数f(x)=ax+x2-xlna,a>1.
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.…(2分)
由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,…(5分)
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6分)
(2)由(1)可知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,
故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.…(7分)
所以,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增.
所以fmin=f(0)=1,fmax=max{f(-1),f(1)}.…(9分)
f(-1)=
1
a
+1+lna,f(1)=a+1-lna,
f(1)-f(-1)=a-
1
a
-2lna,
记g(x)=x-
1
x
-2lnx,则g′(x)=1+
1
x2
-
2
x
=(
1
x
-1)2
,(当x=1时取到等号),所以g(x)=x-
1
x
-2lnx递增,
故f(1)-f(-1)=a-
1
a
-2lna>0 …(11分)
所以f(1)>f(-1),于是fmax=f(1)=a+1-lna.(12分)
故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna,所以a-lna≤e-1,所以1<a≤e.…(14分)
举一反三
已知函数f(x)=
lnx+k
ex
(k
为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=lnx+x2-3x-c
(1)若函数f(x)在(
1
2
1
4
+m)上是单调函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方,求c的取值范围.
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若函数f(x)在R上是一个可导函数,则f′(x)>0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是(  )
A.在区间(-3,1)内f(x)是增函数
B.在x=2时f(x)取得极大值
C.在(4,5)内f(x)是增函数
D.在x=2时f(x)取到极小值

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已知函数f(x)=x2-ax+a(a∈R)的图象与x轴相切,且在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.
(I)求函数f(x)的表达式;
(II)设函数g(x)=xf(x),求g(x)的极值;
(III)设函数h(x)=g(x)+x-k,当h(x)存在3个零点时,求实数k的取值范围.
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