已知函数f(x)=x2-ax+a(a∈R)的图象与x轴相切,且在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.(I)求函数f(x)的表达式;
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已知函数f(x)=x2-ax+a(a∈R)的图象与x轴相切,且在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立. (I)求函数f(x)的表达式; (II)设函数g(x)=xf(x),求g(x)的极值; (III)设函数h(x)=g(x)+x-k,当h(x)存在3个零点时,求实数k的取值范围. |
答案
(I)由题意,令△=a2-4a=0,解得a=0或4. 当a=0时,f(x)=x2,在(0,+∞)单调递增,不符合题意; 当a=4时,f(x)=(x-2)2,在区间(0,2)上单调递减,符合题意. ∴f(x)=x2-4x+4. (II)g(x)=xf(x)=x3-4x2+4x,g′(x)=3x2-8x+4, 令g′(x)=0,解得x=或2. 列表如下:∴g(x)极大值=g()=,g(x)极小值=g(2)=0. (III)h(x)=g(x)+x-k=x3-4x2+5x-k, ∴h′(x)=3x2-8x+5,令h′(x)=0,解得x=或1. 可知h(x)极大值=h(1),h(x)极小值=h(). 由题意h(x)存在3个零点,则,解得<k<2. 所以实数k的取值范围是(,2). |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,当且仅当x>4时.f(x)>x2-4x+5=g(x). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数y=m与函数f(x),g(x)的图象共有3个交点,求实数m的取值范围. |
f(x)的导函数图象如图所示,则f(x)的增区间为( )A.[0,1] | B.(-∞,-1] | C.(-∞,0] | D.[0,+∞) |
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已知函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( )A.a≥0 | B.a≤-4 | C.a≤-4或a≥0 | D.-4≤a≤0 |
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已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证: . |
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