已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,当且仅当x>4时.f(x)>x2-4x+5=g(x

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,当且仅当x>4时.f(x)>x2-4x+5=g(x

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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,当且仅当x>4时.f(x)>x2-4x+5=g(x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=m与函数f(x),g(x)的图象共有3个交点,求实数m的取值范围.
答案
(1)因为函数在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,所以-1,2是函数的两个极值点,即-1,2是f"(x)=0的两个根,
因为f"(x)=3x2+2ax+b,所以由根与系数之间的关系得





-1+2=-
2a
3
-1×2=
b
3
解得





a=-
3
2
b=-6

所以f(x)=x3-
3
2
x2-6x+c

H(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-
5
2
x2-2x+c-5
,则H"(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2),
所以函数H(x)在(-∞,
1
3
),(2,+∞)上为增函数,在(-
1
3
,2
)上为减函数,故





H(4)=0
H(-
1
3
)<0
,解得c=-11.
所以此时f(x)=x3-
3
2
x2-6x-11

(2)因为f(x)=x3-
3
2
x2-6x-11
,则f(-1)=-
15
2
,f(2)=-21

故当-21<m<-
15
2
时,直线y=m与函数f(x)的图象有3个交点,与g(x)的图象没有交点.
又g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1,故当m>1时,直线y=m与g(x)的图象有2个交点,与f(x)的图象有1个交点,
又f(4)=g(4)=5,故当1<m<5或m>5时,直线y=m与函数f(x),g(x)的图象共有3个交点,
故实数m的取值范围(-21,-
15
2
)∪(1,5)∪(5,+∞)

举一反三
f(x)的导函数图象如图所示,则f(x)的增区间为(  )
A.[0,1]B.(-∞,-1]C.(-∞,0]D.[0,+∞)

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已知函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是(  )
A.a≥0B.a≤-4C.a≤-4或a≥0D.-4≤a≤0
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的最小值为,则
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已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证:
      
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函数的增区间为(       )
A.B.C.D.

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