如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，（Ⅰ）求证： 面；（Ⅱ）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（Ⅲ）求三棱锥的体积.

题型：不详难度：来源：

如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，

（Ⅰ）求证： 面；
（Ⅱ）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

答案

（Ⅰ）证明：连结、交于点，再连结，
可得且，四边形是平行四边形，由，平面.
（Ⅱ）平面 
（Ⅲ）.

解析

试题分析：（Ⅰ）证明：连结、交于点，再连结，
 
，且， 又，故且，
 四边形是平行四边形，故，平面         4分
（Ⅱ）平面，下面加以证明：
在底面菱形中，
又平面，面
，平面，
，平面         8分
（Ⅲ）过点作，垂足，平面，平面
，平面，
在中，，，故，
         12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。本题含“探究性问题”，这一借助于几何体中的垂直关系。