如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形,O为BD的中点,且AB=AD=CB=CD=2,AC=.(1)当时,求证:AO⊥平面BC
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如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形,O为BD的中点,且AB=AD=CB=CD=2,AC=.(1)当时,求证:AO⊥平面BC
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形,O为BD的中点,且AB=AD=CB=CD=2,AC=
.
(1)当
时,求证:AO⊥平面BCD;
(2)当二面角
的大小为
时,求二面角
的正切值.
答案
(1)先证 AO⊥CO, AO⊥BD (2)
解析
试题分析:(1)根据题意知,在△AOC中,
,
,
所以
,所以AO⊥CO.
因为AO是等腰直角E角形ABD的中线,所以AO⊥BD.
又BD
CO=O,所以AO⊥平面BCD.
(2)法一 由题易知,CO⊥OD.如图,以O为原点,
OC、OD所在的直线分别为
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
则有O(0,0,0),
,
,
.
设
,则
,
.
设平面ABD的法向量为
,
则
即
所以
,令
,则
.
所以
.
因为平面BCD的一个法向量为
,
且二面角
的大小为
,所以
,
即
,整理得
.
因为
,所以
,
解得
,
,所以
,
设平面ABC的法向量为
,
因为
,
,
则
即
令
,则
,
.所以
.
设二面角
的平面角为
,则
.
所以
,即二面角
的正切值为
.
法二 在△ABD中,BD⊥AO,在△BCD中,BD⊥CO,
所以∠AOC是二面角
的平面角,即∠AOC=
.
如图,过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H,
因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO
AO=O,
所以BD⊥平面AOC.
因为AH
平面AOC,所以BD⊥AH.
又CO⊥AH,且CO
BD=O,所以AH⊥平面BCD.
过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK.
因为BC⊥AH,AK
AH=A,所以BC⊥平面AHK.
因为HK
平面AHK,所以BC⊥HK,
所以∠AKH为二面角
的平面角.
在△AOH中,∠AOH=
,
,则
,
,
所以
.
在R t△CHK中,∠HCK=
,所以
.
在 R t△AHK中,
,
所以二面角
的正切值为
.
点评:本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、直线与平面所成的角等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
举一反三
用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为( ).
A.8
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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在如图所示的几何体中,面
为正方形,面
为等腰梯形,
,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)求三棱锥
的体积;
(3)线段
上是否存在点
,使
//平面
?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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在直角梯形ABCD中,AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC =90°,将△DBC沿BD向上折起,使面ABD垂直于面BDC,则C-DAB三棱锥的外接球的体积为________.
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别为棱BB
1
和DD
1
的中点.
(1)求证:平面B
1
FC//平面ADE;
(2)试在棱DC上取一点M,使
平面ADE;
(3)设正方体的棱长为1,求四面体A
1
—FEA的体积.
题型:不详
难度:
|
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在长方体
中,
,过
、
、
三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体
,且这个几何体的体积为
.
(1)求棱
的长;
(2)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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