在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）求点到平面的距离．

题型：不详难度：来源：

在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．

（1）求棱的长；
（2）求点到平面的距离．

答案

（1）3（2）

解析

试题分析：解：（1）设，由题设，
得，即，解得．
故的长为．
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
由已知及（1），可知，，，，
设平面的法向量为，有，，
其中，，则有即解得，，取，得平面的一个法向量，且．
在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离．
点评：求点到平面的距离，可通过向量方法来求解，有时也可通过三棱锥的体积来求解（等体积法）。