已知函数f(x)=ex-1-ax,(a∈R).(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;(Ⅱ)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点,若存在,请
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ex-1-ax,(a∈R). (Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,且f(g(x))<f(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)∵f(x)=ex-1-ax,(x∈R,a∈R), ∴f′(x)=ex-a, ①当a≤0时,则∀x∈R有f′(x)>0, ∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)单调递增; ②当a>0时,f′(x)>0⇒x>lna,f′(x)<0⇒x<lna ∴函数f(x)的单调增区间为(lna,+∞),单调减区间为(-∞,lna). 综合①②的当a≤0时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调增区间为(lna,+∞),单调减区间为(-∞,lna). (Ⅱ)函数F(x)=f(x)-xlnx定义域为(0,+∞), 又F(x)=0⇒a=-lnx,x>0, 令h(x)=-lnx,x>0, 则h′(x)=,x>0, ∴h′(x)>0⇒x>1, h′(x)<0⇒0<x<1, ∴函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ∴h(x)≥h(1)=e-1 由(1)知当a=1时,对∀x>0,有f(x)>f(lna)=0, 即ex-1>x⇔>1 ∴当x>0且x趋向0时,h(x)趋向+∞ 随着x>0的增长,y=ex-1的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x2的增长速度,而y=lnx的增长速度则会越来越慢. 故当x>0且x趋向+∞时,h(x)趋向+∞.得到函数h(x)的草图如图所示 故①当a>e-1时,函数F(x)有两个不同的零点; ②当a=e-1时,函数F(x)有且仅有一个零点; ③当a<e-1时,函数F(x)无零点; (Ⅲ)由(2)知当x>0时,ex-1>x,故对∀x>0,g(x)>0, 先分析法证明:∀x>0,g(x)<x 要证∀x>0,g(x)<x 只需证∀x>0,<ex 即证∀x>0,xex-ex+1>0 构造函数H(x)=xex-ex+1,(x>0) ∴H′(x)=xex>0,∀x>0 故函数H(x)=xex-ex+1在(0,+∞)单调递增, ∴H(x)>H(0)=0, 则∀x>0,xex-ex+1>0成立. ①当a≤1时,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)单调递增, 则f(g(x))<f(x)在x∈(0,+∞)上恒成立. ②当a>1时,由(1)知,函数f(x)在(lna,+∞)单调递增,在(0,lna)单调递减, 故当0<x<lna时,0<g(x)<x<lna, ∴f(g(x))>f(x),则不满足题意. 综合①②得,满足题意的实数a的取值范围(-∞,1]. |
举一反三
已知函数g(x)=lnx+ax2+bx.(a,b∈R) (1)若关于x的不等式1+lnx>g(x)的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),求b-a的值; (2)求f(x)=g(x)-bx的单调区间; (3)若a=b=1,y=g(x)的图象上是否存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2),(其中x1≥e2x2)使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C(点C的横坐标等于PQ中点的横坐标)处的切线的斜率? |
定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2的最小值是______. |
定义:两个连续函数(图象不间断)f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,我们称函数|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上的“绝对和”. (1)试求函数f(x)=x2与g(x)=x(x+2)(x-4)在闭区间[-2,2]上的“绝对和”. (2)设hm(x)=-4x+m及f(x)=x2都是定义在闭区间[1,3]上,记hm(x)与f(x)的“绝对和”为Dm,如果D(m)的最小值是D(m0),则称f(x)可用hm0(x)“替代”,试求m0的值,使f(x)可用hm0(x)“替代”. |
f(x),g(x)都是定义在R上的单调递增函数,f(x)>0,g(x)<0,则( )A.大于0,单调递增 | B.小于0,单调递减 | C.小于0,单调递增 | D.小于0,单调性无法确定 |
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设函数f(x)=2lnx-x2. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)设a∈R,讨论关于x的方程f(x)+2x2-5x-a=0的解的个数. |
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