定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在

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定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．
（1）试求函数f（x）=x²与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．
（2）设h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定义在闭区间[1，3]上，记h_m（x）与f（x）的“绝对和”为D_m，如果D（m）的最小值是D（m₀），则称f（x）可用hm0(x)“替代”，试求m₀的值，使f（x）可用hm0(x)“替代”．

答案

（1）令F（x）=f（x）+g（x）=x²+x（x+2）（x-4）=x³-x²-8x，
则F"（x）=3x²-2x-8=（3x+4）（x-2）．F（x），F"（x）随x的值的变化情况如下表

由表可知F（x）的值域为[-12，

176

27

].
故|f（x）+f（x）|在[-2，2]上的最大值为12．
从而f（x）与g（x）在[-2，2]上的“绝对和”为12．
（2）设ϕ（x）=h_m（x）+f（x）=-4x+m+x²=（x-2）²+m-4．
而ϕ（1）=ϕ（3）=m-3∴D（m）是|m-3|与|m-4|中较大者．
∴D(m)=

|m-4|(m＜ 7 2 ) |m-3|(m≥ 7 2 )

∴当m=

7

2

时，D（m）最小，∴m0=

7

2

．
即m0=

7

2

时，f（x）可用hm0(x)“替代”