已知函数y=f(x)的定义域为R,其导数f′(x)满足0<f′(x)<1,常数α为方程f(x)=x的实数根.(1)求证:当x>α时,总有x>f(x)成立;(2)
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已知函数y=f(x)的定义域为R,其导数f′(x)满足0<f′(x)<1,常数α为方程f(x)=x的实数根. (1)求证:当x>α时,总有x>f(x)成立; (2)对任意x1、x2若满足|x1-α|<1,|x2-α|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<2. |
答案
(1)证明:令g(x)=x-f(x),则g′(x)=1-f′(x), ∵0<f′(x)<1,∴g′(x)=1-f′(x)>0, ∴函数g(x)=x-f(x)为R上的增函数, ∴当x>α时g(x)=x-f(x)>g(α)=α-f(α)=0, ∴当x>α时,总有x>f(x)成立; (2)证明:∵|x1-α|<1,|x2-α|<1, ∴α-1<x1<α+1,α-1<x2<α+1, 又0<f′(x)<1, ∴f(x)在R上是增函数, ∴f(α-1)<f(x1)<f(α+1),f(α-1)<f(x2)<f(α+1), ∴f(α-1)-f(α+1)<f(x1)-f(x2)<f(α+1)-f(α-1), ∴|f(x1)-f(x2)|<f(α+1)-f(α-1), 由(1)知:f(α+1)<α+1;-f(α-1)<-(α-1), ∴|f(x1)-f(x2)|<f(α+1)-f(α-1)<2, ∴|f(x1)-f(x2)|<2. |
举一反三
设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=x (1)若x>0,求证:>g() (2)是否存在实数m,使函数h(x)=-f(x2)-m恰有四个不同的零点?若存在求出的m范围;若不存在,说明理由. |
已知函数y=f(x)(x∈R)上任意一点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=(x0-2)(x0-5)2,则该函数的单调减区间为______. |
若函数f(x)=x3+ax2+bx-7在R上单调递增,则实数a,b一定满足的条件是( )A.a2-3b<0 | B.a2-3b>0 | C.a2-3b=0 | D.a2-3b<1 |
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对任意x∈R,函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21 | B.0<a≤21 | C.a<0或a>21 | D.a=0或a=21 |
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已知函数f(x)=x如+ax2-2x+5. (少)若函数f(x)在(,少)上单调递减,在(少,+∞)上单调递增,求实数a的值; (2)是否存在正整数a,使得f(x)在(,)上既不是单调递增函数也不是单调递减函数?若存在,试求出a的值,若不存在,请说明理由. |
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