定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2的最小值是______.
题型:不详难度:来源:
定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2的最小值是______. |
答案
∵f"(x)<0, ∴该函数在(0,+∞)上是减函数, ∵f(x+y)≤1=f(4), ∴x+y≥4, 设c=x2+y2,表示可行域上的点到(0,0)的距离的平方,也表示一个圆, 当x+y-4=0与这样的圆相切时,其半径最小,即可行域上的点到(0,0)的距离最小 ∴c=||2=8. 故答案为:8 |
举一反三
定义:两个连续函数(图象不间断)f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,我们称函数|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上的“绝对和”. (1)试求函数f(x)=x2与g(x)=x(x+2)(x-4)在闭区间[-2,2]上的“绝对和”. (2)设hm(x)=-4x+m及f(x)=x2都是定义在闭区间[1,3]上,记hm(x)与f(x)的“绝对和”为Dm,如果D(m)的最小值是D(m0),则称f(x)可用hm0(x)“替代”,试求m0的值,使f(x)可用hm0(x)“替代”. |
f(x),g(x)都是定义在R上的单调递增函数,f(x)>0,g(x)<0,则( )A.大于0,单调递增 | B.小于0,单调递减 | C.小于0,单调递增 | D.小于0,单调性无法确定 |
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设函数f(x)=2lnx-x2. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)设a∈R,讨论关于x的方程f(x)+2x2-5x-a=0的解的个数. |
函数f(x)=x3-x2-x的单调减区间是( )A.(-∞,-) | B.(-,1) | C.(-∞,-),(1,∞) | D.(1,∞) |
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已知函数y=f(x)的定义域为R,其导数f′(x)满足0<f′(x)<1,常数α为方程f(x)=x的实数根. (1)求证:当x>α时,总有x>f(x)成立; (2)对任意x1、x2若满足|x1-α|<1,|x2-α|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<2. |
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