已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，且f（0）=7，x=1是它的极值点．（1）求f（x）的表达式；（2）试确定f（x）的单调区间；（3）若函数g（x）=f
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已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，且f（0）=7，x=1是它的极值点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试确定f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，求m的取值范围． |
答案
（1）∵f（0）=7，∴b=7．
又f′（x）=[x2+（2+a）x+a+b]ex，x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即（10+2a）e=0，∴a=-5，
∴f（x）=（x2-5x+7）ex；
（2）∵f′（x）=（x2-3x+2）ex=（x-1）（x-2）ex
令f′（x）＞0得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0得1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）；
（3）由（2）知f（x）最大=f（1）=3e，f（x）最小=f（2）=e2．
若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，则只需y=f（x）与y=m的图象有三个交点．
由于f（x）在（-∞，1）单调递增，且f（-1）=＜f（2），
故只要f（x）最小＜m＜f（x）最大，∴e2＜m＜3e．
故当e2＜m＜3e时，g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点． |
举一反三
| 已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=3，f′（x）-1＜0，则不等式f（x2）＜x2+1的解集为______． |
设函数f(x)=x2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求实数a的取值范围． |
| （普通班做） 设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为______． |
已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k＜0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明0＜f（x1）＜1． |
已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． |
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