已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(I)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. |
答案
(I)f′(x)=-3x2+6x+9. 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增, 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. |
举一反三
已知函数f(x)=ex-1-ax,(a∈R). (Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,且f(g(x))<f(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数g(x)=lnx+ax2+bx.(a,b∈R) (1)若关于x的不等式1+lnx>g(x)的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),求b-a的值; (2)求f(x)=g(x)-bx的单调区间; (3)若a=b=1,y=g(x)的图象上是否存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2),(其中x1≥e2x2)使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C(点C的横坐标等于PQ中点的横坐标)处的切线的斜率? |
定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2的最小值是______. |
定义:两个连续函数(图象不间断)f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,我们称函数|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上的“绝对和”. (1)试求函数f(x)=x2与g(x)=x(x+2)(x-4)在闭区间[-2,2]上的“绝对和”. (2)设hm(x)=-4x+m及f(x)=x2都是定义在闭区间[1,3]上,记hm(x)与f(x)的“绝对和”为Dm,如果D(m)的最小值是D(m0),则称f(x)可用hm0(x)“替代”,试求m0的值,使f(x)可用hm0(x)“替代”. |
f(x),g(x)都是定义在R上的单调递增函数,f(x)>0,g(x)<0,则( )A.大于0,单调递增 | B.小于0,单调递减 | C.小于0,单调递增 | D.小于0,单调性无法确定 |
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