已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=3,f′(x)-1<0,则不等式f(x2)<x2+1的解集为______.

已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=3,f′(x)-1<0,则不等式f(x2)<x2+1的解集为______.

题型:不详难度:来源:
已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=3,f′(x)-1<0,则不等式f(x2)<x2+1的解集为______.
答案
根据f(x)在R上的导数满足f/(x)-1<0即f′(x)<1,讨论导函数的正负得到函数的单调区间为:
①当f′(x)<0时得到函数f(x)单调递减,
即当x2<2时,得到f(x2)>f(2)=3即x2+1>3,解得x2>2,矛盾;
②当0<f′(x)<1时得到函数f(x)单调递增,
即当x2>2时,得到f(x2)>f(2)=3即x2+1>3,解得x2>2,所以x>


2
或x<-


2

综上,不等式f(x2)<x2+1的解集为{x|x>


2
或x<-


2
}
故答案为{x|x>


2
或x<-


2
}
举一反三
设函数f(x)=
1
2a
x2-lnx(x>0)
,其中a为非零常数,
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间.
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)>2恒成立,求实数a的取值范围.
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(普通班做) 设函数f(x)=lnx+x2+ax.若f(x)在其定义域内为增函数,则a的取值范围为______.
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已知函数f(x)=kex-x2(其中k∈R,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若k<0,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若k=2,当x∈(0,+∞)时,试比较f(x)与2的大小;
(Ⅲ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求k的取值范围,并证明0<f(x1)<1.
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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(I)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
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已知函数f(x)=ex-1-ax,(a∈R).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,且f(g(x))<f(x)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
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