已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取得极值．（Ⅰ）求t的取值范围；（Ⅱ）若a，b，c成等差数
题型：西山区模拟难度：来源：
已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取得极值．
（Ⅰ）求t的取值范围；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，求t的值． |
答案
（Ⅰ）f"（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex
∵f（x）有三个极值点
∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根a、b、c．
令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，则g"（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
由g"（x）＞0可得x＜-1或x＞3；由g"（x）＜0可得-1＜x＜3；
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵g（x）有三个零点
∴g（-1）=t+8＞0，g（3）=t-24＜0
解得-8＜t＜24
（Ⅱ）∵a，b，c是方程x3-3x2-9x+t+3=0的三个根．
∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x-abc
∴ | | a+b+c=3 | | ab+ac+bc=-9 | | t+3=-abc |
| |
且a+c=2b
∵a+b+c=3，a+c=2b
∴b=1
∴
∴
∴
∴
∴t=8． |
举一反三
定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-a，且f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e2时，恒有x＜成立． |
定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f"（a）＞0，f′（b）＜0．现给出如下结论：
①∃x0∈[a，b]，f（x0）=0； ②∃x0∈[a，b]，f（x0）＞f（b）；
③∀x0∈[a，b]，f（x0）≥f（a）； ④∃x0∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f"（x0）（a-b）．
其中结论正确的个数是（ ） |
已知f（x）=x3+mx2-x+2（m∈R）．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为（-，1），求函数f（x）的解析式；
（2）（理）若f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求实数m的取值范围．
（文）若f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2（1-m）恒成立，求实数m的取值范围． |
已知函数f（x）=-x2+3x+（sinθ）lnx
（1）当sinθ=-时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求θ的取值范围． |
已知定义在同一个区间（，）上的两个函数f（x）=x2-2alnx，g（x）=x3-bx2+x在x=x0处的切线平行于x轴．
（1）求实数a和b的取值范围；
（2）试问：是否存在实数x1，x2，当x1，x0，x2成等比数列时，等式f（x1）+f（x2）=2g（x0）成立？若成立，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． |
最新试题
热门考点