已知函数f（x）=3ax-2x2+lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=3ax-2x2+lnx，a为常数．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围． |
答案
（1）当a=1时，f（x）=3x-2x2+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f′(x)=3-4x+==．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′(x)=3a-4x+．
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．
∴3a-4x+≥0，或3a-4x+≤0在区间[1，2]上恒成立．
即3a≥4x-，或3a≤4x-在区间[1，2]上恒成立．
设h（x）=4x-，
∵h′（x）=4+＞0
∴h（x）=4x-在区间[1，2]上是增函数．
h（x）max=h（2）=，h（x）min=h（1）=3
∴只需3a≥，或3a≤3．
∴a≥，或a≤1． |
举一反三
如下表，在相应各前提下，满足p是q的充分不必要条件所对应的序号有______（填出所有满足要求的序号）．
| 序号 | 前提 | p | q | | ① | 在区间I上函数f（x）的最小值为m，g（x）的最大值为n | m＞n | f（x）＞g（x）在区
间I上恒成立 | | ② | 函数f（x）的导函数为f′（x） | f′（x）＞0在区间I上恒成立 | f（x） 在区间I
上单调递增 | | ③ | A、B为△ABC的两内角 | A＞B | sinA＞sinB | | ④ | 两平面向量、 | •＜0 | 、的夹角为钝角 | | ⑤ | 直线l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0 | | l1∥l2 | 已知函数f(x)=x3+x2+ax+b（a，b为常数）．
（I）若函数f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（II）若f（x）在区间[-2，1]上是单调递减的，求a的取值范围；
（III）当a＞1时，比较f(logmt)与f(logm)的大小． | 已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取得极值．
（Ⅰ）求t的取值范围；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，求t的值． | 定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-a，且f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e2时，恒有x＜成立． | 定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a，b（a＜b），有f"（a）＞0，f′（b）＜0．现给出如下结论：
①∃x0∈[a，b]，f（x0）=0； ②∃x0∈[a，b]，f（x0）＞f（b）；
③∀x0∈[a，b]，f（x0）≥f（a）； ④∃x0∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f"（x0）（a-b）．
其中结论正确的个数是（ ） | 最新试题
热门考点
|