已知函数f(x)=13x3+x2+ax+b（a，b为常数）．（I）若函数f（x）在x=2处取得极值，求a的值；（II）若f（x）在区间[-2，1]上是单调递减的

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b（a，b为常数）．
（I）若函数f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（II）若f（x）在区间[-2，1]上是单调递减的，求a的取值范围；
（III）当a＞1时，比较f(

1

2

logmt)与f(logm

t+1

2

)的大小．

答案

（I）f"（x）=x²+2x+a．
因f（x）在x=2取得极值，所以f"（2）=4+4+a=0．解得a=-8．
经检验知当a=-9时，x=2为f（x）为极值点．
（II）∵f"（x）=x²+2x+a，
由已知得x²+2x+a≤0在[-2，1]上恒成立，
∴a≤-x²-2x在[-2，1]上恒成立．
∴a≤-1²-2×1=-3．
故a≤-3．
（III）当a＞1时，f"（x）=x²+2x+a＞0恒成立，
∴函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函数，
由于

t+1

2

≥t

1

2

，
①当m＞1时，

1

2

logmt≤logm

t+1

2

，∴f(

1

2

logmt)≤f(logm

t+1

2

)；
②当0＜m＜1时，

1

2

logmt≥logm

t+1

2

，
∴f(

1

2

logmt)≥f(logm

t+1

2

)．