设x=1和x=2是函数f(x)=x3+ax2+bx+1的两个极值点.(Ⅰ)求a和b的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
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设x=1和x=2是函数f(x)=x3+ax2+bx+1的两个极值点. (Ⅰ)求a和b的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间. |
答案
(Ⅰ)∵三次函数f(x)=x3+ax2+bx+1在x=1和x=2时取极值, ∴f′(x)=3x2+2ax+b, ∴可得 解得; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f′(x)=3x2+2ax+b=3(x-1)(x-2), 若f′(x)>0即x>2或x<1,f(x)为增函数, 若f′(x)<0即1<x<2,f(x)为减函数, 因此f(x)的单调增区间是(-∞,1),(2,+∞),f(x)的单调减区间是(1,2). |
举一反三
函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2013,对任意x∈R,都有f′(x)<2x成立,则不等式f(x)>x2+2009的解集为( )A.(-2,2) | B.(-2,+∞) | C.(-∞,-2) | D.(-∞,+∞) |
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已知函数f(x)=ax2+2x(a≠0),g(x)=lnx. (Ⅰ)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间,求a的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数a>0,使得方程=f′(x)-(2a+1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由. |
设函数f(x)=px2+qx-是奇函数,其中p,q是常数,且q≠0. (Ⅰ)求P的值; (Ⅱ)若q<0,求f(x-1)的单调区间; (Ⅲ)求f(sinx+cosx)在x∈[0,]上的最大值与最小值.(用q表示) |
设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根x1,2,x2. (Ⅰ)求n的值; (Ⅱ)试比较f(1)与2的大小,并说明理由; (Ⅲ)求|x1-x2|的取值范围. |
已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0) (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下,当n∈N+时,证明:(1+)(1++)(1+)…(1+)<e.其中(e≈2.718…即自然对数的底数) |
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