设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根x1,2,x2.(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)试比较
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设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根x1,2,x2. (Ⅰ)求n的值; (Ⅱ)试比较f(1)与2的大小,并说明理由; (Ⅲ)求|x1-x2|的取值范围. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2+2mx+n. ∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数 ∴当x=0时,f(x)取到极大值. ∴f′(0)=0. ∴n=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=x3+mx2+p ∵f(2)=0 ∴p=-4(m+2) f′(x)=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0,x2=- ∵函数f(x)在[0,2]上是减函数, ∴x2=-≥2 ∴m≤-3. ∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2. (Ⅲ)由条件可得:f(x)=(x-x1)(x-2)(x-x2) ∴f(x)=x3-(2+x1+x2)x2+(2x1+2x2+x1x2)x-2x1x2. ∴,即, ∴|x1-x2|===(m≤-3), ∴|x1-x2|≥3. |
举一反三
已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0) (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下,当n∈N+时,证明:(1+)(1++)(1+)…(1+)<e.其中(e≈2.718…即自然对数的底数) |
已知函数f(x)=ax-+b-(a+1)lnx,(a,b∈R),g(x)=-x+. (Ⅰ)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:对任意x1,x2∈[e,e2],总有f(x1)>g(x2); (Ⅲ)求函数f(x)的单调递增区间. |
若函数f(x)在定义域R内可导,f(1+x)=f(1-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)>0设a=f(0),b=f(),c=f(3),则( )A.a<b<c | B.c<a<b | C.c<b<a | D.b<a<c |
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函数y=x3+ax在区间[0,1]上是增函数,则a的取值范围为( ) |
设x1,x2(x1≠x2)使函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点 (1)若|x1|+|x2|=2,求b的最大值; (2)若x1<x<x2,且x2=a,函数g(x)=f(x)"-a(x-x1),求证:|g(x)|≤a3+a2+. |
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