(1)∵函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0) ∴函数f(x)的导数为f′(x)=3ax2+2bx-a2, ∵x1,x2(x1≠x2)是函数的两个极值点 ∴x1,x2是方程f′(x)=0的两个不相等的实数根,得 ∵两根x1,x2之积为-<0 ∴两根x1,x2之中一正一负,可得|x1|+|x2|=|x1-x2|=2 平方,得(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2=8 即:(-) 2+=8 整理,得4b2=72a2-12a3,其中a>0 ∴b2=18a2-3a3 记F(a)=18a2-3a3,得F′(a)=36a-9a2=9a(4-a) 令F′(a)>0,得0<a<4,F′(a)<0,得a>4, ∴F(a)在区间(0,4)上为增函数,在区间(4,+∞)上为减函数 可得F(a)在(0,+∞)上的最大值为F(4)=96 ∴b的最大值为=4 (2)由(1)的根与系数的关系,结合x2=a,得 ⇒ ∴f"(x)=3ax2+2bx-a2=3ax2+(-3a2+a)x-a2 ∴g(x)=f"(x)-a(x-x1)=3ax2+(-3a2+a)x-a2-a(x+) =3ax2-3a2x-a2-a=(x+)(3ax-3a2-a) g(x)的图象是开口向上的抛物线,关于直线x=对称 它的两个零点为-和,且-< ∵x1<x<x2即x∈(-,a),a<=a+ ∴g(x)<0且g(x)的最小值为g()=-(a3+a2+) ∴不等式|g(x)|≤a3+a2+恒成立. |