已知函数f(x)的定义域为(-2,2),其导函数f′(x)=x2+2cosx且f(0)=0,则关于实数x的不等式f(x-2)+f(x2-2x)>0的解集为(  

已知函数f(x)的定义域为(-2,2),其导函数f′(x)=x2+2cosx且f(0)=0,则关于实数x的不等式f(x-2)+f(x2-2x)>0的解集为(  

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已知函数f(x)的定义域为(-2,2),其导函数f′(x)=x2+2cosx且f(0)=0,则关于实数x的不等式f(x-2)+f(x2-2x)>0的解集为(  )
A.(0,1+


3
B.(2,4)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,1+


3
答案
f"(x)=x2+2cosx
知f(x)=
1
3
x3+2sinx+c而f(0)=0,
∴c=0
即:f(x)=
1
3
x3+2sinx
易知,此函数是奇函数,且在整个区间单调递增,
因为f"(x)=x2+2cosx在x∈(0,2)恒大于0
根据奇函数的性质可得出,在其对应区间上亦是单调递增的f(x-2)+f(x2-2x)>0
f(x-2)>-f(x2-2x)
即:f(x-2)>f(2x-x2





-2<x-2<2
-2<2x-x2<2
x-2>2x-x2

解得:x∈(2,1+


3

故选D.
举一反三
已知x=2是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
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已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且当x>0时,
f(x)-xf′(x)
x2
<0,则不等式x2f(x)<0的解集是______.
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函数f(x)=x3+ax2+x在区间(0,1)上既存在极大值,也存在极小值,则a的取值范围是(  )
A.(-2,-


3
B.(-3,-


3
C.(


3
,2)
D.(


3
,3)
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函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象交y轴于点P,且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数f(x)在x=2处取得极值为0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,当x>2时,g(x)=a(x-2)-(x-2)3(a为常数).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)对区间[1,+∞)上的每个x值,恒有f(x)≥-2a成立,求a的取值范围.
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