设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，当x＞2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）3（a为常数）．（1）求
题型：不详难度：来源：
设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，当x＞2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）3（a为常数）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）对区间[1，+∞）上的每个x值，恒有f（x）≥-2a成立，求a的取值范围． |
答案
（1）1°当x＜0时，2-x＞2，
设P（x，y）（x＜0）为y=f（x）上的任一点，
则它关于直线x=1的对称点为P1（x1，y1），
满足，
且P1（x1，y1）适合y=g（x）的表达式
∴y1=a（x1-2）-（x1-2）3即y=-ax+x3…（4分）
2°当x＞0时，-x＜0，∵f（x）为奇函数∴f（x）=-f（-x）=-[-a（-x）+（-x）3]=-ax+x3…（5分）
3°当x=0时，f（x）=0=-a×0+03
综上 f（x）=-ax+x3，x∈R…（6分）
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]min≥-2af"（x）=-a+3x2，
当a≤0时，f"（x）≥0恒成立，f（x）在[1，+∞）是增函数∴f（1）=-a+1≥-2a得a≥-1，即-1≤a≤0…（8分）
当a＞0时，令f"（x）=0得x1=-，x2=
若＜1，即0＜a＜3时，则f"（x）在[1，+∞）大于零，f（x）在[1，+∞）是增函数，∴f（1）=-a+1≥-2a得0＜a＜3…（10分）
若≥1，即a≥3时，则f（x）在[1，+∞）的最小值是f()=-a+()3=-
令f()≥-2a得3≤a≤27…（11分）
综上-1≤a≤27…（12分） |
举一反三
已知x=2是函数f(x)=的一个极值点，则f（x）的单调递减区间是（ ）| A．（-∞，2） | B．（2，+∞） | C．（-∞，0）∪（2，+∞） | D．（-∞，0）和（2，+∞） |
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设函数f(x)=ln(x-1)+(a∈R)
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果当x＞1，且x≠2时，＞恒成立，则求实数a的取值范围． |
对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-2）f"（x）≥0，则必有（ ）| A．f（1）+f（3）＜2f（2） | B．f（1）+f（3）≥2f（2） | C．f（1）+f（3）≤2f（2） | D．f（1）+f（3）＞2f（2） |
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| 设a为实数，函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围． |
已知：定义域为R的函数f(x)=ax-x3在区间(0，)内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的极小值为-2，求实数a的值． |
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