(1)f′(x)=-x2+2bx+c ∵函数f(x)在x=1处有极值- ∴ | f′(1)=-1+2b+c=0 | f(1)=-+b+c+bc=- |
| | (3分) 解得或(4分) (i)当b=1,c=-1时,f′(x)=-(x-1)2≤0 所以f(x)在R上单调递减,不存在极值 (ii)当b=-1,c=3时,f′(x)=-(x+3)(x-1) x∈(-3,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减 所以f(x)在x=1处存在极大值,符合题意. 综上所述,满足条件的值为b=-1,c=3(7分) (2)当x∈(0,1)时,函数y=f(x)-c(x+b)=-x3+bx2, 设图象上任意一点P(x0,y0),则k=y′|x=x0=-x02+2bx0,x0∈(0,1), 因为k≤1, 所以对任意x0∈(0,1),=-x02+2bx0≤1恒成立(9分) 所以对任意x0∈(0,1),不等式b≤恒成立 设g(x)=,则g′(x)=, 当x∈(0,1)时,g′(x)<0 故g(x)在区间(0,1)上单调递减 所以对任意x0∈(0,1),g(x0)>g(1)=1(12分) 所以b≤1.(14分) |