已知函数f(x)=ax+1x3,其中a∈R.(I)求证:函数f(x)为奇函数;(II)若a=3,求函数f(x)的极值.
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已知函数f(x)=ax+1x3,其中a∈R.(I)求证:函数f(x)为奇函数;(II)若a=3,求函数f(x)的极值.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=ax+
1
x
3
,其中a∈R.
(I)求证:函数f(x)为奇函数;
(II)若a=3,求函数f(x)的极值.
答案
(I)函数
f(x)=ax+
1
x
3
的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(1分)
因为
f(-x)=-ax-
1
x
3
=-f(x)
,
所以函数
f(x)=ax+
1
x
3
为奇函数,(5分)
(II)因为
f(x)=3x+
1
x
3
,
所以
f′(x)=3-
3
x
4
=
3(
x
4
-1)
x
4
.(8分)
令f′(x)=0,解得x=±1.(9分)
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),其导函数f′(x)=x
2
+2cosx且f(0)=0,则关于实数x的不等式f(x-2)+f(x
2
-2x)>0的解集为( )
A.(0,1+
3
)
B.(2,4)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(2,1+
3
)
题型:不详
难度:
|
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已知x=2是函数f(x)=alnx+x
2
-12x的一个极值点.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且当x>0时,
f(x)-xf′(x)
x
2
<0,则不等式x
2
f(x)<0的解集是______.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=x
3
+ax
2
+x在区间(0,1)上既存在极大值,也存在极小值,则a的取值范围是( )
A.(-2,-
3
)
B.(-3,-
3
)
C.(
3
,2)
D.(
3
,3)
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象交y轴于点P,且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数f(x)在x=2处取得极值为0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
题型:不详
难度:
|
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