设函数f(x)=px2+qx-qx是奇函数,其中p,q是常数,且q≠0.(Ⅰ)求P的值;(Ⅱ)若q<0,求f(x-1)的单调区间;(Ⅲ)求f(sinx+cosx
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设函数f(x)=px2+qx-qx是奇函数,其中p,q是常数,且q≠0.(Ⅰ)求P的值;(Ⅱ)若q<0,求f(x-1)的单调区间;(Ⅲ)求f(sinx+cosx
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x)=px
2
+qx-
q
x
是奇函数,其中p,q是常数,且q≠0.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)若q<0,求f(x-1)的单调区间;
(Ⅲ)求f(sinx+cosx)在x∈[0,
π
2
]上的最大值与最小值.(用q表示)
答案
(Ⅰ)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)
即px
2
-qx+
q
x
=-(px
2
+qx-
q
x
)
得2px
2
=0对任意x≠0恒成立
∴p=0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=qx-
q
x
(q≠0)
∵
f′(x)=q+
q
x
2
∴当q<0时,f′(x)<0,
∴当q<0时,f(x)在定义域内是减函数
又∵t=x-1,当x≠1时,t在(-∞,1),(1,+∞)上递增
∴当q<0时,f(x-1)单调递减,减区间为(-∞,1),和(1,+∞)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:
当q<0时,函数f(x)在定义域内是减函数
当q>0时,函数f(x)在定义域内是增函数
∵
sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
,
π
4
≤x+
π
4
≤
3π
4
∴sinx+cosx在x∈[0,
π
2
]上有1≤sinx+cosx
≤
2
∴当q<0时,f(sinx+cosx)的最大值为f(1)=0,最小值为
f(
2
)=
2
2
q
当q>0时,f(sinx+cosx)的最大值为
f(
2
)=
2
2
q
,最小值为f(1)=0
举一反三
设函数f(x)=x
3
+mx
2
+nx+p在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个实根x
1
,2,x
2
.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)试比较f(1)与2的大小,并说明理由;
(Ⅲ)求|x
1
-x
2
|的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx-a(x-1),(a>0)
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)是单调减函数,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当n∈N
+
时,证明:(1+
1
2
)(1+
1
2
2
+)(1+
1
2
3
)…(1+
1
2
n
)<e.其中(e≈2.718…即自然对数的底数)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax-
1
x
+b-(a+1)lnx,(a,b∈R),
g(x)=-
2
e
x+
e
2
.
(Ⅰ)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:对任意
x
1
,
x
2
∈[e,
e
2
]
,总有f(x
1
)>g(x
2
);
(Ⅲ)求函数f(x)的单调递增区间.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)在定义域R内可导,f(1+x)=f(1-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)>0设
a=f(0),b=f(
3
2
),c=f(3)
,则( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.c<b<a
D.b<a<c
题型:不详
难度:
|
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函数
y=
1
3
x
3
+ax
在区间[0,1]上是增函数,则a的取值范围为( )
A.a>0
B.a<0
C.a≥0
D.a≤0
题型:不详
难度:
|
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