已知函数f(x)=x-2x+1-alnx，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然

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已知函数f(x)=x-2x+1-alnx，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然

题型：安徽难度：来源：
已知函数f(x)=x-
2
x
+1-alnx，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．
答案
（I）∵函数f(x)=x-
2
x
+1-alnx，a＞0
∴f′（x）=1+
2
x2
-
a
x
，x＞0
令t=
1
x
＞0
y=2t2-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2


2
，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②△=a2-8＞0，即：a＞2


2
，y=0有两个不等根
由2t2-at+1＞0，得t＜
a-


a2-8
4
或t＞
a+


a2-8
4
，又x＞0
∴0＜x＜
a-


a2-8
2
或x＜0或x＞
a+


a2-8
2

由2t2-at+1＜0，得
a-


a2-8
2
＜t＜
a+


a2-8
2

∴
a-


a2-8
2
＜x＜
a+


a2-8
2

综上：①0＜a≤2


2
，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②a＞2


2
函数f（x）(0，
a-


a2-8
2
)，(
a+


a2-8
2
，+∞)上是增函数，在(
a-


a2-8
2
，
a+


a2-8
2
)上是减函数，
（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e2）=e2-
2
e2
-5＞0
∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2-3ln2，e2-
2
e2
-5]
举一反三
设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f"（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f"（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
（1）设函数f(x)=Inx+
b+2
x+1
(x＞1)，其中b为实数．
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范围．
题型：天河区三模难度：| 查看答案
已知函数f（x）=xlnx，
（1）求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．
题型：不详难度：| 查看答案
已知函数f(x)=
2x-3
x-1
，x∈[2，5]
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）求f（x）的最大值及最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
（类型A）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-
2
3
，-
1
3
)内是减函数，求a的取值范围．
（类型B）已知函数f（x）=x3-ax+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间(-
2
3
，-
1
3
)内是减函数，求a的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
函数y=ex-ex的单调递增区间（　　）
A．（-∞，0）B．（-∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
题型：不详难度：| 查看答案
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