设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f"(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f"(
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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f"(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f"(
题型:天河区三模
难度:
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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f"(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f"(x)=h(x)(x
2
-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数
f(x)=Inx+
b+2
x+1
(x>1)
,其中b为实数.
(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ii)求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x
1
,x
2
∈(1,+∞),x
1
<x
2
,设m为实数,a=mx
1
+(1-m)x
2
,β=(1-m)x
1
+mx
2
,且a>1,β>1,若|g(a)-g(β)|<|g(x
1
)-g(x
2
)|,求m取值范围.
答案
(1)f′(x)=
1
x
-
b+2
(
x+1)
2
=
1
x(
x+1)
2
(
x
2
-bx+1)
∵x>1时,h(x)=
1
x(
x+1)
2
>0恒成立,
∴函数f(x)具有性质P(b);
(ii)当b≤2时,对于x>1,φ(x)=x
2
-bx+1≥x
2
-2x+1=(x-1)
2
>0
所以f′(x)>0,故此时f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴 x=
b
2
>1,
方程φ(x)=0的两根为:
b+
b
2
-4
2
,
b-
b
2
-4
2
而
b+
b
2
-4
2
>1
,
b-
b
2
-4
2
=
2
b+
b
2
-4
∈(0,1)
当 x∈(1,
b+
b
2
-4
2
)时,φ(x)<0,f′(x)<0,
故此时f(x)在区间 (1,
b+
b
2
-4
2
)上递减;
同理得:f(x)在区间[
b+
b
2
-4
2
,+∞)上递增.
综上所述,当b≤2时,f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,f(x)在 (1,,
b+
b
2
-4
2
)上递减;f(x)在[
b+
b
2
-4
2
,+∞)上递增.
(2)由题设知,函数g(x)得导数g′(x)=h(x)(x
2
-2x+1),其中h(x)>0对于任意得x∈(1,+∞)都成立
∴当x>1时,g′(x)=h(x)(x-1)
2
>0,从而g(x)在(1,+∞)上单调递增
①m∈(0,1),α=mx
1
+(1-m)x
2
>mx
1
+(1-m)x
1
=x
1
α<mx
2
+(1-m)x
2
=x
2
∴α∈(x
1
,x
2
)同理可得β∈(x
1
,x
2
)
由g(x)得单调性可知,g(α),g(β)∈(g(x
1
),g(x
2
))
从而有|g(α)-g(β)|≥|g(x
1
)-g(x
2
)|符合题意
②m≤0时,α=mx
1
+(1-m)x
2
≥mx
2
+(1-m)x
2
=x
2
β=(1-m)x
1
+mx
2
≤(1-m)x
1
+mx
1
=mx
1
于是由α>1,β>1及g(x)得单调性可知g(β)≤g(x
1
)<g(x
2
)≤g(α)
∴|g(α)-g(β)|≥|g(x
1
)-g(x
2
)|与题设不符
③m≥1时,同理可得α≤x
1
,β≥x
2
,进而可得|g(α)-g(β)|≥|g(x
1
)-g(x
2
)|与题设不符
综合①②③可得m∈(0,1)
举一反三
已知函数f(x)=xlnx,
(1)求f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
2x-3
x-1
,x∈[2,5]
(1)判断f(x)的单调性并证明;
(2)求f(x)的最大值及最小值.
题型:不详
难度:
|
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(类型A)已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+x+1,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间
(-
2
3
,-
1
3
)
内是减函数,求a的取值范围.
(类型B)已知函数f(x)=x
3
-ax+1,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间
(-
2
3
,-
1
3
)
内是减函数,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
函数y=e
x
-ex的单调递增区间( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,1)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,且b≠0,函数
g(x)=
1
3
b
x
3
-bx
,若对任意的x
1
∈(1,2),总存在x
2
∈(1,2),使f(x
1
)=g(x
2
),求实数b的取值范围.
题型:沈阳二模
难度:
|
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