孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于、两点,请解答以

孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于、两点,请解答以

题型:不详难度:来源:
孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点,两直角边与该抛物线交于两点,请解答以下问题:
(1)若测得(如图1),求的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时,过轴于点,测得,写出此时点的坐标,并求点的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现,交点的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

答案
(1)设线段轴的交点为,由抛物线的对称性可得中点,
 
()                                
()代入抛物线得,.          
(2)解法一:过点轴于点

的横坐标为 (1,),                               
. 又 ,易知,又
∽△             
设点)(),则

,即点的横坐标为.      
解法二:过点轴于点
的横坐标为 (1,), 
(-)(),则
,  
 

解得:,即点的横坐标为.                      
(3)解法一:设)(),)(),
设直线的解析式为:,    则
得,
            
又易知△∽△
.由此可知不论为何值,直线恒过点()  (4分)
(说明:写出定点的坐标就给2分)
解法二:设)(),)(),
直线轴的交点为,根据,可得

化简,得.                                            
又易知△∽△
为固定值.故直线恒过其与轴的交点,
说明:的值也可以通过以下方法求得.
由前可知,
,得:
化简,得.
解析
(1)先求出B点坐标,代入抛物线y=ax2(a<0)得a的值;
(2)过点A作AE⊥x轴于点E,可证△AEO∽△OFB,得出AE=2OE,可得方程点A的横坐标.
(3)设A(-m,-m2)(m>0),B(n,-n2)(n>0),易知△AEO∽△OFB,根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点(0,-2).
举一反三
抛物线y=x2-4x-5与x轴的正半轴的交点坐标为_________,与y轴的交点坐标为_________.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2.

(1)求这条抛物线对应的函数关系式;
(2)连结BD,试判断BD与AD的位置关系,并说明理由;
(3)连结BC交直线AD于点M,在直线AD上,是否存在这样的点N(不与点M重合),使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图1,在直角坐标系中,抛物线:轴交于点,以为一边向左侧作正方形上;如图2,把正方形绕点顺时针旋转后得到正方形)﹒

(1)两点的坐标分别为                    
(2)当 tan时,抛物线的对称轴上是否存在一点,使△为直角三角形?若存在,请求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点,使△为等腰直角三角形?若存在,请直接写出此时tan的值;若不存在,请说明理由﹒
题型:不详难度:| 查看答案
如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,连接AC,抛物线经过A,B两点。

(1)求A点坐标及线段AB的长;
(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时,求t的值;
②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。
题型:不详难度:| 查看答案
如图,经过原点的抛物线轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。

(1)当时,求点A的坐标及BC的长;
(2)当时,连结CA,问为何值时CA⊥CP?
(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的的值,并写出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由。
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.