已知函数f(x)=13x3+x2-ax(a∈R).(1)若a=8,求f(x)在区间[-6,3]上的最大值;(2)若g(x)=3f(x)•exx在(-∞,0)上恰

已知函数f(x)=13x3+x2-ax(a∈R).(1)若a=8,求f(x)在区间[-6,3]上的最大值;(2)若g(x)=3f(x)•exx在(-∞,0)上恰

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
3
x3+x2-ax(a∈R)

(1)若a=8,求f(x)在区间[-6,3]上的最大值;
(2)若g(x)=
3f(x)•ex
x
在(-∞,0)上恰有两个极值点,求a的取值范围.
答案
(1)当a=8时,函数f(x)=
1
3
x3+x2-8x

∴f′(x)=x2+2x-8
令f′(x)=0,则x=-4,或x=2
当-6<x<-4时,f′(x)>0,当2<x<3时,f′(x)>0,当-4<x<2时,f′(x)<0,
∴f(x)极大值=f(-4)=
80
3

又∵f(-6)=12,f(3)=-6
f(x)的最大值为
80
3

(2)∵g(x)=
3f(x)•ex
x
=(x2+3x-3a)ex
∴g′(x)=(x2+5x+3-3a)ex
∵g(x)=
3f(x)•ex
x
在(-∞,0)上恰有两个极值点,
∴g(x)=0在(-∞,0)上恰有两个相异实根
即x2+5x+3-3a=0在(-∞,0)上恰有两个相异实根





△=25-4(3-3a)>0
3-3a>0

解得:-
13
12
<a<1
举一反三
已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)
在x=1处取到极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=lnx+
a
x
.若对任意的x1∈R,总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+
7
2
,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=x3+bx2+cx在x=1处取得极小值-2.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若对任意的μ∈(0,+∞),函数f(x)的图象C1与函数y=f(x+μ)-v的图象C2至多有一个交点.求实数v的范围.
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已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为实数.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上是增函数,求a的取值范围(e为自然对数的底数).
(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=
lnx
x
+
1
2
是否有实数解.
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已知x=
1
2
f(x)=2x-
b
x
+lnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-
1
x
,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x)的切线?为什么?
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已知函数f(x)=
a
3
x3+
1
2
x2-(a-1)x+1

(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,求出这条切线的方程;
(2)当a>0时,求:
①讨论函数f(x)的单调区间;
②对任意的x<-1,恒有f(x)<1,求实数a的取值范围.
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