已知x=12是f(x)=2x-bx+lnx的一个极值点.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅲ)设g(x)=f(x)-1x,试问过点(2,5)可
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已知x=12是f(x)=2x-bx+lnx的一个极值点.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅲ)设g(x)=f(x)-1x,试问过点(2,5)可
题型:不详
难度:
来源:
已知x=
1
2
是
f(x)=2x-
b
x
+lnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)设
g(x)=f(x)-
1
x
,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x)的切线?为什么?
答案
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2+
b
x
2
+
1
x
,∵x=
1
2
是
f(x)=2x-
b
x
+lnx
的一个极值点,
∴f′(
1
2
)=0,即 2+4b+2=0,得b=-1,当b=-1时,f′(x)=
(2x-1)(x+1)
x
2
,
当0
<x<
1
2
时,f′(x)<0;当
x>
1
2
时,f′(x)>0,所以x=
1
2
为f(x)的极小值点,
所以b=-1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
(2x-1)(x+1)
x
2
,令f′(x)>0得x>
1
2
,
∴函数f(x)的单调增区间为
[
1
2
,+∞)
.
(Ⅲ)
g(x)=f(x)-
1
x
=2x+lnx,
设切点坐标为(x
0
,2x
0
+lnx
0
),则斜率为2+
1
x
0
,切线方程为:y-2x
0
-lnx
0
=(2+
1
x
0
)(x-x
0
).
∴又切线过点(2,5),∴5-2x
0
-lnx
0
=(2+
1
x
0
)(2-x
0
),
即
ln
x
0
+
2
x
0
-2=0
,令h(x)=
lnx+
2
x
-2
,
则h′(x)=
1
x
-
2
x
2
=0,得x=2.
h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增又∵
h(
1
2
)=2-ln2>0
,h(2)=ln2-1<0,
h(
e
2
)=
2
e
2
>0
∴h(x)与x轴有两个交点,
故过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.
举一反三
已知函数
f(x)=
a
3
x
3
+
1
2
x
2
-(a-1)x+1
.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线6x+y+1=0平行,求出这条切线的方程;
(2)当a>0时,求:
①讨论函数f(x)的单调区间;
②对任意的x<-1,恒有f(x)<1,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=4x
3
+3tx
2
-6t
2
x+t-1,其中t∈R.
(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)当t∈(0,+∞),求f(x)的极值.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=(x-1)
2
+mlnx,其中m为常数.
(1)当
m>
1
2
时,判断函数f(x)
在定义域上的单调性;
(2)若函数f(x)有极值点,求实数m的取值范围及f(x)的极值点.
(3)当
n≥3,n∈N时,证明:
1
n
2
<ln(n+1)-lnn<
1
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
y=f(x)=
lnx
x
.
(1)求函数y=f(x)的图象在
x=
1
e
处的切线方程;
(2)求y=f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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函数y=x-lnx的单调递减区间是( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(0,1)
D.(e,+∞)
题型:不详
难度:
|
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