设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．（1）当m＞12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及

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设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．（1）当m＞12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及

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设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．
（1）当m＞
1
2
时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及f（x）的极值点．
（3）当n≥3，n∈N时，证明：
1
n2
＜ln(n+1)-lnn＜
1
n
．
答案
（1）函数f（x）=（x-1）2+mlnx，可得函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2（x+1）+
b
x
=
2x2-2x+m
x
=
2(x-
1
2
)2+m-
1
2
x
（x＞0）
当m＞
1
2
时，可知f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）由（1）知，当m＞
1
2
时，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当m=
1
2
时，f′(x)=
2(x-
1
2
)2
x
≥0，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当m＜
1
2
时，令f"（x）=0得，x1=
1-


1-2m
2
，x2=
1+


1-2m
2
…（6分）
①当m≤0时，x1=
1-


1-2m
2
≤0∉(0，+∞)，则x2=
1+


1-2m
2
≥1∈(0，+∞)，
列表：
解析
举一反三
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x（0，x2）x2（x2，+∞）
f"（x）-0+
f（x）↘极小值↗
x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
f"（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗
已知函数y=f(x)=
lnx
x
．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=
1
e
处的切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间．
函数y=x-lnx的单调递减区间是（　　）
A．（1，+∞）B．（-∞，1）C．（0，1）D．（e，+∞）
函数f（x）=3x-x3的单调增区间是（　　）
A．（0，+∞）B．（-∞，-1）C．（-1，1）D．（1，+∞）
已知函数f（x）=
2
3
x3-2ax2+3x（x∈R）．
（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．
设函数f（x）=
a
3
x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|≤
44
3
．