已知函数f(x)=axlnx(a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最值;(Ⅱ)若m>0,n>0,a>0,证明:f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n
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已知函数f(x)=axlnx(a≠0). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最值; (Ⅱ)若m>0,n>0,a>0,证明:f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2. |
答案
(Ⅰ)∵f"(x)=alnx+a(x>0), 当a>0时,令f"(x)≥0,即lnx≥-1=lne-1. ∴x≥e-1=.,∴x∈[,+∞). 同理,令f"(x)≤0,可得x∈(0,]. ∴f(x)单调递增区间为[,+∞),单调递减区间为(0,]. 由此可知y=f(x)min=f()=-.无最大值. 当a<0时,令f"(x)≥0,即lnx≤-1=lne-1.∴x≤e-1=.,∴x∈(0,]. 同理,令f"(x)≤0可得x∈[,+∞). ∴f(x)单调递增区间为(0,],单调递减区间为[,+∞). 由此可知y=f(x)max=f()=-.此时无最小值. (Ⅱ)不妨设m≥n>0,令n=x, 记g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln(x>0) g′(x)=alnx+a-aln-a=aln ∵m+x≥2x∴≤1,∴aln≤0, ∴g"(x)≤0,∴g(x)是减函数, ∵m≥x>0,∴g(x)≥g(m)=0∴g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln≥0,即得证. |
举一反三
f(x)=lnx-ax2,x∈(0,1] (1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a范围; (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值. |
已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)在(0,e]上的单调性; (2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由. (3)若实数m,n满足m>0,n>0,求证:nnem≥mnen. |
已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g"(x)的最小值为0. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求实数m的值; (Ⅲ) 求证:g(x)≥-7. |
已知函数f(x)=x3-ax+b在区间在x=2处取得极值-8 (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x)的单调区间. (3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域. |
若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x-1)的单调递减区间是( )A.(2,4) | B.(0,2) | C.(2,3) | D.(0,1) |
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