已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)
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已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g"(x)的最小值为0. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求实数m的值; (Ⅲ) 求证:g(x)≥-7. |
答案
(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2, ∴f"(x)=3ax2+2bx. 由题意有 | f′(-1)=3a-2b=0 | f′(1)=3a+2b=12 |
| | , 解得. ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3+3x2. (Ⅱ)g(x)=f(x)+mx=2x3+3x2+mx,x∈[1,+∞), g′(x)=6x2+6x+m=6(x+)2-+m在[1,+∞)单调递增 ∴[g"(x)]min=g"(1)=12+m=0, ∴m=-12. (Ⅲ)g(x)=2x3+3x2-12x,x∈[1,+∞), 由(Ⅱ)知,当x=1时,g"(x)=0, 当x>1时,g"(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数. ∴g(x)≥g(1)=2+3-12=-7. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax+b在区间在x=2处取得极值-8 (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x)的单调区间. (3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域. |
若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x-1)的单调递减区间是( )A.(2,4) | B.(0,2) | C.(2,3) | D.(0,1) |
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已知函数f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c.在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值. |
某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)=300+x3-5x2+170x.每单位产品的价格是134元,求使利润最大时的产量. |
定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M,都有f(x)≥M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的下界.已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n. (1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调递增函数; (2)试判断m,n的大小,并说明理由;并判断函数f(x)在定义域上是否为有界函数,请说明理由; (3)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t)满足=(t-1)2,并确定这样的x0的个数. |
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