(1)f′(x)=(x2-3x+3)•ex+(2x-3)•ex=x(x-1)•ex. 由f′(x)>0⇒x>1或x<0;由f′(x)<0⇒0<x<1, 所以f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减, 要使f(x)在[-2,t]上为单调递增函数,则-2<t≤0 (2)n>m. 因为f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在x=1处取极小值e.又f(-2)=<e, 所以f(x)在[-2,+∞)上的最小值为f(-2),从而当t>-2时,f(-2)<f(t), 即m<n. 由上知,因为f(x)在(-∝,0)上递增,且恒大于0,f(x)在(0,+∞)的最小值为e, 所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是有界函数,M=0 (3)因为=x2-x0,所以=(t-1)2,即为x2-x0=(t-1)2. 令g(x)=x2-x-(t-1)2,从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-(t-1)2=0 在(-2,t)上有解,并讨论解的个数. 因为g(-2)=6-(t-1)2=-(t+2)(t-4),g(t)=t(t-1)-(t-1)2=(t+2)(t-1), 所以①当t>4或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0,所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解; ②当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,但由于g(0)=-(t-1)2<0, 所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解;③当t=1时,g(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1, 所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解; ④当t=4时,g(x)=x2-x-6=0⇒x=-2或x=3, 所以g(x)=0在(-2,4)上有且只有一解 综上所述,对于任意t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足=(t-1)2, 且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x0符合题意; 当1<t<4时,有两个x0符合题意. |