已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2).(1)试求m、n的值;(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;(3)过
题型:济南二模难度:来源:
已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2). (1)试求m、n的值; (2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程; (3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)由题意知:f"(x)=3mx2+4nx-12<0的解集为(-2,2), 所以,-2和2为方程3mx2+4nx-12=0的根,(2分) 由韦达定理知0=-,-4=,即m=1,n=0.(4分) (2)∵f(x)=x3-12x,∴f"(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12•1=-11 当A为切点时,切线的斜率k=f"(1)=3-12=-9, ∴切线为y+11=-9(x-1),即9x+y+2=0;(6分) 当A不为切点时,设切点为P(x0,f(x0)),这时切线的斜率是k=f"(x0)=3x02-12, 切线方程为y-f(x0)=f"(x0)(x-x0),即y=3(x02-4)x-2x03 因为过点A(1,-11),-11=3(x02-4)-2x03,∴2x03-3x02+1=0,(x0-1)2(2x0+1)=0, ∴x0=1或x0=-,而x0=1为A点,即另一个切点为P(-, ), ∴k=f′(-)=3×-12=-, 切线方程为y+11=-(x-1),即45x+4y-1=0(8分) 所以,过点A(1,-11)的切线为9x+y+2=0或45x+4y-1=0.(9分) (3)存在满足条件的三条切线.(10分) 设点P(x0,f(x0))是曲线f(x)=x3-12x的切点, 则在P点处的切线的方程为y-f(x0)=f"(x0)(x-x0)即y=3(x02-4)x-2x03 因为其过点A(1,t),所以,t=3(x02-4)-2x03=-2x03+3x02-12, 由于有三条切线,所以方程应有3个实根,(11分) 设g(x)=2x3-3x2+t+12,只要使曲线有3个零点即可. 设g"(x)=6x2-6x=0,∴x=0或x=1分别为g(x)的极值点, 当x∈(-∞,0)和(1,+∞)时g"(x)>0,g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单增, 当x∈(0,1)时g"(x)<0,g(x)在(0,1)上单减, 所以,x=0为极大值点,x=1为极小值点. 所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当即, 解得-12<t<-11.(14分) |
举一反三
已知函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈[e-1-1,e-1]时不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围. |
已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f"(x)>1,则f(x)>x的解集是( )A.(0,1) | B.(-1,0)∪(0,1) | C.(1,+∞) | D.(-∞,-1)∪(1,+∞) |
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若函数f(x)=|x3-(a+1)x2+ax|有两个极大值点,则实数a的取值范围是______. |
若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g"(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点. |
已知函数f(x)=alnx+x2-(1+a)x (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,求实数a的取值范围. |
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