若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
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若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g"(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点. |
答案
(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得f"(x)=3x2+2ax+b. ∵1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点, ∴f"(1)=3+2a+b=0,f"(-1)=3-2a+b=0,解得a=0,b=-3. (2)∵由(1)得,f(x)=x3-3x, ∴g"(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),解得x1=x2=1,x3=-2. ∵当x<-2时,g"(x)<0;当-2<x<1时,g"(x)>0, ∴x=-2是g(x)的极值点. ∵当-2<x<1或x>1时,g"(x)>0,∴x=1不是g(x)的极值点. ∴g(x)的极值点是-2. |
举一反三
已知函数f(x)=alnx+x2-(1+a)x (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,求实数a的取值范围. |
已知a为实数,函数f(x)=(1+ax)ex,函数g(x)=,令函数F(x)=f(x)•g(x). (1)若a=1,求函数f(x)的极小值; (2)当a=-时,解不等式F(x)<1; (3)当a<0时,求函数F(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2-6x+1. (Ⅰ)求函数y=+g(x)的单调递增区间; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅲ)试判断方程lnx=-(其中e=2.718…)是否有实数解?并说明理由. |
已知函数f(x)=x+-3,g(x)=x+lnx,其中a>0,F(x)=f(x)+g(x). (1)若x=是函数,y=F(x)的极值点,求实数a的值; (2)若函数y=F(x)(x∈(0,3])的图象上任意一点处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围; (3)若函数y=f(x)在[1,2]上有两个零点,求实数a的取值范围. |
已知定义在R上的函数f(x)可导且导函数f′(x)<1,又f(3)=4,则满足不等式f(x+1)<x+2的实数x的取值范围是______. |
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