(1)由f"(x)=ex+(1+x)ex=0得x=-2, 当x<-2时,f"(x)<0,f(x)在(-∞,-2)上单调递减, 当x>-2时,f"(x)>0,f(x)在(-2,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)的最小值为f(-2)=-e-2; (2)当a=-时F(x)=(1+x)e x×<1,即-1<0 设m(x)=-1,则m(0)=0,m′(x)=<0 所以m(x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(-2,+∞), 而当x<-2时,总有-1<0成立, 所以不等式F(x)<1的解集是(-∞,-2)∪(0,+∞). (3)F(x)=e x,定义域为{x|x≠} 则F′(x)=e x=e x,令F′(x)=0,得x2=(a<0) ①当2a+1<0,即a<-时,F′(x)<0 则当a<-时,函数F(x)的单调递减区间是(-∞,)和(,+∞). ②当2a+1=0,即a=-时,由(2)知,函数F(x)的单调递减区间是(-∞,-2)和(-2,+∞). ③当2a+1>0,即-<a<0时,解x2=得到x1=,x2=- ∵<,∴令F′(x)<0,得到x∈(-∞,),x∈(,),x∈(-,+∞); 令F′(x)>0,得到x∈(,-). 则当-<a<0时,函数F(x)的单调递减区间是(-∞,),(,),(-,+∞); 函数F(x)的单调递增区间是(,-). |