试题分析:(1)如图1. ①BD=CE,理由如下: ∵AD=AE,∠ADE=α, ∴∠AED=∠ADE=α, ∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α, 同理可得:∠BAC=180°﹣2α, ∴∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE, 即:∠BAD=∠CAE. 在△ABD与△ACE中, ∵, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE; ②∵△ABD≌△ACE, ∴∠BDA=∠CEA, ∵∠BMC=∠MCD+∠MDC, ∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α; (2)如图2. ∵AD=ED,∠ADE=α, ∴∠DAE==90°﹣α, 同理可得:∠BAC=90°﹣α, ∴∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE, 即:∠BAD=∠CAE. ∵AB=kAC,AD=kAE, ∴AB:AC=AD:AE=k. 在△ABD与△ACE中, ∵AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA, ∴△ABD∽△ACE, ∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA, ∴BD=kCE; ∵∠BMC=∠MCD+∠MDC, ∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣α. 故答案为:BD=kCE,90°﹣α; (3)如图.
∵AD=ED,∠ADE=α, ∴∠DAE=∠AED==90°﹣α, 同理可得:∠BAC=90°﹣α, ∴∠DAE=∠BAC,即∠BAD=∠CAE. ∵AB=kAC,AD=kAE, ∴AB:AC=AD:AE=k. 在△ABD与△ACE中, ∵AB:AC=AD:AE=k,∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE, ∴∠BDA=∠CEA, ∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α, ∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣α+α=90°+α. 故答案为:90°+α. 点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的外角的性质,相似三角形的判定与性质,作图﹣旋转变换,综合性较强,有一定难度.由于全等是相似的特殊情况,所以做第二问可以借助第一问的思路及方法,做第三问又可以遵照第二问的做法,本题三问由浅入深,层层递进,做好第一问是关键. |