(Ⅰ)函数y=+g(x)=4lnx+x2-6x+1,(x>0), ∴y′=+2x-6==, 令y′>0,解得0<x<1或x>2, ∴函数y=+g(x)的单调递增区间是(0,1)和(1,+∞). (II)f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,解得x=. 当0<x<时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,)上单调递减;当x>时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,)上单调递增. ①当0<t<时,x∈[t,)时,函数f(x)单调递减;x∈(,t+2],函数f(x)单调递增, 因此当x=时,f(x)取得极小值,也即最小值,且f()=ln=-. ②当t≥时,f(x)在区间[t,t+2]内单调递增,因此x=t时,函数f(x)取得最小值,且f(t)=tlnt. (Ⅲ)方程lnx=-(其中e=2.718…)⇔xlnx=-(x>0). 令u(x)=xlnx,v(x)=-.(x>0). 由(II)可知:u(x)在x=时取得极小值,也即最小值-. v′(x)==,当0<x<1时,v′(x)>0,函数v(x)单调递增;当1<x时,v′(x)<0,函数v(x)单调递减. 因此当x=1时,v(x)取得极大值,也即最大值v(1)=-=-. 而当x=1时,u(1)=0>-=v(1),故方程lnx=-(其中e=2.718…)无实数解. |