设g(x)=x3-(a+1)x2+ax,则g"(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).因为函数f(x)有两个极值,所以函数g(x)不单调,所以a≠1.
①若a<0,则函数g(x)在x=1处只有一个极小值g(1),当极小值小于0时,加上绝对值则相应变为极大值,所以此时有g(1)=-(a+1)+a<0,解得 a<,所以此时a<0成立.
②若a>0且a≠1,此时函数分别在x=1处和x=a处,取得极值g(1),g(a),两者一个为极大值,一个为极小值.所以要使函数函数f(x)=|x3-(a+1)x2+ax|有两个极大值点,则满足g(1)g(a)<0,即g(1)=-(a+1)+a=,g(a)=a3-(a+1)a2+a2=,所以g(1)g(a)=⋅<0,解得0<a<或a>3 综上满足条件的实数a的取值范围是a<0或0<a<或a>3. 故答案为:a<0或0<a<或a>3. |