已知函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[e-1-1,e-1]时不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围
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已知函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈[e-1-1,e-1]时不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)函数的定义域为(-1,+∞). ∵f′(x)=2(1+x)-2•= 由f′(x)>0得x>0,由f′(x)<0得-1<x<0,∴f(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-1,0). (2)由f′(x)=0得x=0,由(1)知f(x)在[-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增. 又f(-1)=+2,f(e-1)=e2-2,且e2-2>+2, 所以当x∈[e-1-1,e-1]时,f(x)的最大值为e2-2, 故当m>e2-2是不等式恒成立. |
举一反三
已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f"(x)>1,则f(x)>x的解集是( )A.(0,1) | B.(-1,0)∪(0,1) | C.(1,+∞) | D.(-∞,-1)∪(1,+∞) |
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若函数f(x)=|x3-(a+1)x2+ax|有两个极大值点,则实数a的取值范围是______. |
若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g"(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点. |
已知函数f(x)=alnx+x2-(1+a)x (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)≥0对定义域内的任意的x恒成立,求实数a的取值范围. |
已知a为实数,函数f(x)=(1+ax)ex,函数g(x)=,令函数F(x)=f(x)•g(x). (1)若a=1,求函数f(x)的极小值; (2)当a=-时,解不等式F(x)<1; (3)当a<0时,求函数F(x)的单调区间. |
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